Geometría Euclidiana versus Geometría No Euclidiana

La geometría Euclidiana que se encuentra en el libro Elementos hacia el 300 a.C, se convirtió en el libro más leído escrito por Euclides, quien se basó en cinco postulados, a saber:

1. Se puede trazar una línea recta desde un punto hasta otro cualquiera.
2. Se puede prolongar una línea recta finita continuamente.
3. Se puede describir un círculo con cualquier centro y cualquier radio.
4. Todos los ángulos rectos son iguales.
5. Si una línea recta cruza otras dos líneas rectas forma ángulos interiores del mismo lado menores que dos ángulos rectos, entonces, si se continúan esas dos rectas indefinidamente, se cortan del lado en el que hay ángulos menores que los dos ángulos rectos.

Estos postulados fueron aceptados, sin embargo, los filósofos y matemáticos pensaron que el quinto postulado se podía demostrar, sin embargo todos llegaban al mismo sitio. Hacia el año 1700, Playfair cambió el quinto postulado por "Dados una línea y un punto que no esté en ella, es posible dibujar exactamente una línea a través del punto y que sea paralela a la línea"

Dentro de todos los matemáticos que intentaron demostrar el postulado está Girolamo Saccheri, cuya importancia radica en que intentó demostrar el postulado por contradicción pero nunca llegó a ella, es decir, supuso que el quinto postulado era falso sin encontrar incosistencia alguna. Pero eso era muy adelantado para su época, por lo que decidió callar.


En 1766 Lambert siguió una línea similar a la de Saccheri. No obstante, no cayó en la trampa en la que cayó Saccheri e investigó la hipótesis del ángulo agudo sin obtener una contradicción. Lambert notó que, en esta nueva geometría, la suma de los ángulos de un triángulo se incrementaba cuando el área del triángulo disminuía.

Gauss empezó a trabajar sobre el quinto postulado en 1792 cuando tenía apenas 15 años de edad, intentando primero demostrar el postulado de las paralelas a partir de los otros cuatro. Sin embargo para 1817 Gauss estaba convencido de que el quinto postulado era independiente de los otros cuatro postulados. Empezó a deducir las consecuencias de una geometría en la que más de una línea puede dibujarse que pase por un punto dado y que sean paralelas a una recta dada. Tal vez lo más sorprendente de todo es que Gauss nunca publicó este trabajo sino que lo mantuvo en secreto. En esa época el pensamiento estaba dominado por Kant, quien afirmó que la geometría euclidiana es la inevitable necesidad de pensamiento y a Gauss le disgustaba la controversia.

Gauss discutió la teoría de las paralelas con su amigo, el matemático Farkas Bolyai quien hizo varias demostraciones falsas del postulado de las paralelas. Farkas Bolyai le enseñó matemáticas a su hijo, János Bolyai pero, a pesar de haber pedido a su hijo que no perdiera una sola hora en ese problema del quinto postulado, János Bolyai sí trabajó en el problema.

Tampoco queda disminuido el trabajo de Bolyai porque Lobachevsky publicara una obra sobre geometría no-euclidiana en 1829. Ni Bolyai ni Gauss sabía del trabajo de Lobachevsky, principalmente porque fue publicada nada más en ruso en el Mensajero de Kazan, una publicación universitaria local. El intento de Lobachevsky para llegar a un audiencia más amplia había fallado cuando su artículo fue rechazado por Ostrogradski.

Lobachevsky prosiguió con el desarrollo de muchas identidades trigonométricas para triángulos en esta geometría, demostrando que conforme el triángulo se hace más pequeño, dichas identidades tienden a las identidades trigonométricas habituales.

En general, la geometría euclidiana es un caso límite entre las dos en el cual para cada línea hay dos puntos infinitamente distantes que son coincidentes.